再探体渲染（一）-- 理论

由于之前实习接触到体积雾相关的东西，想顺带把这一系列相关渲染技术复现一下，于是从这篇文章开始看起RayMarching实时体积云渲染入门(上) - 知乎 [1] 。实现到一半发现自己很多理论不扎实的地方（代码和公式没法联系到一起），遂重新研读了PBRT的Volume Rendering [2]部分。不得不说，这东西不隔一阵子梳理一下真的巨容易忘，也应了闫在课上说的”常看常新“了。

微分形式

以下部分均来自[2]

对于一小段体积微元的出射强度主要和一下几项有关：

吸收

当入射光线穿过体微元时，其能量损失为

$dL_o(p, \omega) = -\sigma_\alpha (p, \omega) L_i(p,-\omega) dt (1.1)$

其中，为当前点吸收能量的多少。该项模拟了光线射入粒子内部造成的能量损失。

自发光

由于光线穿过的微元内粒子的化学，辐射等现象导致的能量出射。其微分形式和吸收类似

$dL_o(p,\omega) = \sigma_\alpha(p,\omega) L_e(p,\omega)dt (1.2)$

其中为粒子的自发光强度。由于该现象在游戏中不常见，因此很少有和这项相关的技术。

出射/入射

描述了由于光线在粒子之间不断反射的现象。出射描述了由于本该输出的光线反射到其它方向造成的损失（吸收是光线进入到粒子内部造成的损失，而出射是粒子之间反射现象造成的损失）。其公式为:

$dL_o(p,\omega) = -\sigma_s(p,\omega) L_i(p,-\omega)(1.3)$

其中为散射强度项。由于其和吸收项形式基本一致，一般会将其与吸收项合并，称为extinction 项(这个词我一时想不到好的中文翻译)

$\sigma_t =\sigma_\alpha + \sigma_s(1.4)$

与出射相对应，入射描述了部分“幸运”光线反射到出射方向上从而额外增加的能量。其公式为:

$dL_o(p,\omega) = \sigma_s(p,\omega) \int \rho(p,\omega_i,\omega)L_i(p,\omega_i) d\omega_i dt (1.5)$

其中为象函数(phase function) , 其描述了任意点p 上，方向上的光线反射到方向上的概率有多大。项为光线反射到上的数学期望。

入射能量项可以说是实时体积雾渲染最重要的一项。很多有趣的效果（天空体积云，上帝光，手电筒光的丁达尔效应）均来自此项。

合并形式

前文中介绍的诸多现象可以简单分为两类，减少能量（吸收/出射），增加能量(入射/自发光)。而将这两种效应相加便可得到整个体渲染方程的微分形式。

$\frac{dL_o(p,\omega)}{dt} = -\sigma_t(p, \omega) L_i(p,-\omega) + \sigma_t(p, \omega) L_s(p,\omega)(1.6)$

其中，方程加号左边边对应能量衰减项，加号右边对应能量增加项。其中为transmittance 项，为source function，其定义为:

$L_s(p,\omega) = \frac{\sigma_\alpha(p,\omega)}{\sigma_t (p,\omega)} L_e(p,\omega) + \frac{\sigma_{s}(p,\omega)}{\sigma_t(p,\omega)} \int \rho (p,\omega_i,\omega) L_i(p,\omega_i) d \omega_i (1.7)$

积分形式— Volume Render Equation

transmittance

对于体积雾中的散射/吸收现象，其满足微分方程：

$\frac{dL_o(p, \omega)}{dt} = -\sigma_t(p,\omega) L_i(p, -\omega) (2.1)$

定义边界条件：光线起始于位置在方向上传播的最远距离为，对应点为。则 ,

由于，该微分方程可解得:

$\frac{dL_o(p,\omega)}{ dt} = -\sigma_t(p,\omega) L_o(p, \omega)$ $\frac{1}{L_o(p,\omega)} dL_o(p,\omega) = -\sigma_t(p,\omega) dt$ $ln(L_o) |_{L_o(p_0, \omega)}^{L_o(p_1, \omega)} = \int_0^d -\sigma_t(p,\omega) dt \to \frac{L_o(p_1,\omega)}{L_o(p_0,\omega)} = e^{\int_0^d - \sigma_t(p,\omega) dt} (2.2)$

则光线穿过体积介质从点到 ()点的衰减量(transmittance)可以定义为:

$Tr(p\to p')=\frac{L_o(p', \omega)}{L_o(p, \omega)} = e^{\int_0^d - \sigma_t(p+\omega t,\omega) dt} (2.3)$

由于的指数性质，的可以被中间点拆分成两部分间接计算

$Tr(p\to p') = Tr(p\to p'') Tr(p''\to p') (2.4)$

这个性质在使用ray marching的求解器中十分常用。可以将整个光线的transmittance拆分成每一小步的transmittance的乘积。

而Tr项的指数部分被称为光学密度(Optical Thickness)，其公式为:

$\tau =\int_0^d -\sigma_t (p + \omega t, \omega) dt (2.5)$

当体积雾的密度为常数时，(2.3)可以写成：

$Tr(p\to p') = e^{-\sigma_t d} (2.6)$

其与Beer’s law 对应。

Volume Render Equation

无论是实时渲染还是离线光追，一般都使用积分形式。因此，从(1.6)推导体渲染方程的积分形式是必不可少的。计算过程主要参考[3]

方程的边界条件为: 沿着方向，从到的距离为的积分。则

下面推导公式(1.6)的积分形式。由于微分方程不可拆分（对，且满足，满足，则满足 不一定成立），因此不能直接将(2.2)直接用于(1.6)的解。

注意到(1.6)是一阶非齐次线性微分方程 , 该方程存在解析通解。

为表示简便，令则：

$\frac{dL_o(p,\omega)}{dt} = -\sigma_t(p,\omega) L_i(p,-\omega) + f(t)$ $\frac{dL_i(p,-\omega)}{dt} = -\sigma_t(p,\omega) L_i(p,-\omega) + f(t)$

将替换为

$\frac{dL_i(p,\omega)}{dt} - \sigma_t(p,\omega) L_i(p,\omega) = - f(t) (2.7)$

由于被替换被替换为了因此求导后前带负号。同时，为了表达简便，这里把写为

注意，这里为关于变量的函数。也是利用了这点性质实现了简化。

观察得，(2.7)满足一阶非齐次线性微分方程的形式。其中 , 。这类方程有明确的解析解。(尽管Q(t)中包含等同的项，但根据[3]的推导，该项的贡献的测度为0，因此可以视作常数)

令，由于:

$\frac{dL_iv(t)}{dt}=v'(t) L_i+v(t)\frac{dL_i}{dt}$ $v'(t) = -\sigma_t(p,\omega) e^{\int -\sigma_t(p,\omega)dt}=-\sigma_t(p,\omega)v(t)$

则

$-\sigma_t(p,\omega)L_i = \frac{1}{v(t)}\frac{dL_iv(t)}{dt} - \frac{dL_i}{dt}$

带入(2.7)中得:

$\frac{dL_iv(t)}{dt}= -v(t)f(t)$

代入边界条件，对两边在0~d的范围内积分得:

$L_iv(t)|_0^d=L_i(p_1, \omega) v(d)-L_i(p_0,\omega) = -\int_0^d v(t) f(t) dt$ $L_i(p_0,\omega) = L_o(p_1, -\omega) e^{\int_0^d-\sigma_t(p,\omega)dt}+\int_0^d e^{\int_0^t -\sigma_t(p',\omega)dt'} \sigma_t(p,\omega) L_s(p,\omega) dt$

其中

现在我们使用分别表示积分区间的起点，积分区间的终点，积分区间的任意中间点,利用公式(2.3) 简化得:

$L_i(p,\omega) = L_o(p'',-\omega) Tr(p''\to p) + \int_{p\to p''} Tr(p'\to p)\sigma_t(p',\omega)L_s(p',\omega) dt (2.9)$

这便是我们在PBRT中看到的经典渲染方程的形式。

这个结论还是很优雅的。简洁，且每一项都有明确的物理意义。如下图所示，每个点输入的辐射度等于其它表面反射并穿体积雾衰减后的辐射度(对应 )以及在中间虚线部分从source function收集的所有额外辐射度(对应方程的项)